Přesnost kalendářů

Délka tropického roku se v průběhu věků pozvolna mění, přesně ji nelze vyjádřit jediným číslem. Proto ani nelze sestavit dokonalý kalendář, každý periodický kalendář se může jen přibližovat dané hodnotě. Délku tropického roku ve dnech lze vyjádřit následujícím vzorcem:

délka tropického roku = 365.2421896698 - 0.00000615359 × T - 7.29E-10 × T² + 2.64E-10 × T³
kde
T = (JD - 2451545) / 36525
JD je juliánský den

Pomocí tohoto vzorce můžeme zhotovit tabulku délky roku pro nejbližší tisíciletí:
rok	délka tropického roku
1001 př.n.l.	365.242366	365d 5h 49m 0.5s
501 př.n.l.	365.242339	365d 5h 48m 58.1s
1 př.n.l.	365.242310	365d 5h 48m 55.6s
500	365.242281	365d 5h 48m 53.1s
1000	365.242251	365d 5h 48m 50.5s
1500	365.242220	365d 5h 48m 47.8s
2000	365.242190	365d 5h 48m 45.2s
2500	365.242159	365d 5h 48m 42.5s
3000	365.242128	365d 5h 48m 39.9s
3500	365.242098	365d 5h 48m 37.3s
4000	365.242068	365d 5h 48m 34.7s
4500	365.242039	365d 5h 48m 32.2s
5000	365.242012	365d 5h 48m 29.8s

Totéž platí i pro průměrnou délku synodického měsíce, i ta podléhá drobným změnám. Ta je potřebná pro výpočet kalendářního data Velikonoční neděle. Naneštěstí se konkrétní délka synodického měsíce (lunace) se mění od lunace k lunaci, níže uváděné hodnoty jsou jen dlouhodobý průměr, viz stránka Jaký je rozdíl mezi stářím Měsíce a měsíční fází. Vzorec pro výpočet průměrné délky synodického měsíce vypadá takto:

délka synodického měsíce = 29.5305888531 + 0.00000021621 × T - 3.64E-10 × T²

Tabulka průměrné délky synodického měsíce pro nejbližší tisíciletí:
rok	délka synodického měsíce
1001 př.n.l.	29.530582	29d 12h 44m 2.3s
501 př.n.l.	29.530583	29d 12h 44m 2.4s
1 př.n.l.	29.530584	29d 12h 44m 2.5s
500	29.530586	29d 12h 44m 2.6s
1000	29.530587	29d 12h 44m 2.7s
1500	29.530588	29d 12h 44m 2.8s
2000	29.530589	29d 12h 44m 2.9s
2500	29.530590	29d 12h 44m 3.0s
3000	29.530591	29d 12h 44m 3.1s
3500	29.530592	29d 12h 44m 3.2s
4000	29.530593	29d 12h 44m 3.2s
4500	29.530594	29d 12h 44m 3.3s
5000	29.530595	29d 12h 44m 3.4s

Přesnost juliánského kalendáře

V juliánském kalendáři je každý čtvrtý rok přestupný, cyklus střídání délky roků je tedy 365+365+365+366. Délka tohoto čtyřletého cyklu je pak 1461 dnů. Délku roku v juliánském kalendáři pak lehce vypočteme:

1461 / 4 = 365.25 dne, což je 365 dnů a 6 hodin

Rozdíl mezi touto délkou a skutečnou délkou tropického roku je něco přes 11 minut, každým rokem se chyba o tuto hodnotu zvětší a po 128 letech již chyba činí jeden den.

Pro výpočet délky synodického měsíce využijeme celý cyklus velikonočních dat juliánského kalendáře. Po 532 (19×28) letech se znovu opakuji velikonoční data ve stejném pořadí. Víme, že v 19letém cyklu Zlatého čísla se vystřídá 235 cyklických fází Měsíce. Každý rok totiž po 12 cyklech zbývá ještě 11 dnů do konce roku (6×29 + 6×30 + 11 = 365). Tento rozdíl každý rok narůstá a po 19 letech činí 209 dnů (11×19). Připočteme ještě jeden den (měsíční skok) a dostaneme 210 dnů, což je právě 7 měsíčních cyklů. V 19letém cyklu Zlatého čísla se tedy vystřídá (6+6)×19+7=235 cyklických fází Měsíce, toto platí pro oba kalendáře. V celém 532letém cyklu velikonočních dat juliánského kalendáře se pak vystřídá 6580 (532/19×235) cyklických lunací. Tento cyklus je dlouhý 194313 (532/4×1461) dnů, délka synodického měsíce dle juliánského kalendáře je:

194313 / 6580 = 29.53085106383, což je 29d 12h 44m 25.5s

Což je dosti přesná hodnota, chyba jednoho dne a tedy chyba určení prvního jarního úplňku v průměru nastane až za více jak 300 let.

Přesnost gregoriánského kalendáře

Pro gregoriánský kalendář platí obdobná pravidla pro přestupné roky, ale navíc jsou centenární roky (roky končící 00) přestupné pouze pokud jsou zároveň dělitelné 400. Tři přestupné dny tedy každých 400 let vypadnou. Cyklus střídání přestupných let v gregoriánském kalendáři je 400 let, což je 146097 dnů (1461×100-3). Délka roku je tedy:

146097 / 400 = 365.2425 dne, což je 365d 5h 49m 12.0s

Chyba jednoho dne se objeví až za zhruba 3200 let.

Výpočet délky synodického měsíce v gregoriánském kalendáři je poněkud obtížnější, opět využijeme celý cyklus velikonočních dat, který činí v gregoriánském kalendáři 5 700 000 let. Jde celkem o 2 081 882 250 dní (5700000/400×146097). Pro hrubý odhad počtu cyklických měsíců opět použijeme 19letý cyklus Zlatého čísla, který obsahuje 235 cyklických lunací. V celém cyklu Velikonoc by pak mělo být 70 500 000 cyklických lunací (5700000/19×235). Ale musíme si uvědomit ještě existenci sluneční a měsíční opravy ve výpočtu Velikonoční neděle gregoriánského kalendáře. V některých stoletích se připočítává den, za celý cyklus Velikonoc to pak budou tisíce dnů a tedy stovky cyklických lunací, o ty je zapotřebí počet lunací snížit. V celém cyklu Velikonoc činí sluneční oprava 42750 dnů (5700000/400×3) a měsíční oprava 18240 dnů (5700000/2500×8). Sluneční oprava se odečítá a tak dostaneme -24510 dnů, což je 817 lunací. Tento počet lunací je pak nutné odečíst od hrubého odhadu. Průměrná délka synodického měsíce v gregoriánském kalendáři je potom:

2081882250 / 70499183 = 29.53058690056 dne, což je 29d 12h 44m 2.7s

Jde o obdivuhodně přesnou hodnotu, průměrná chyba jednoho dne nastane až po několika desítkách tisíc let. Ovšem jde o průměrnou hodnotu, ve skutečnosti chyba v určení prvního jarního úplňku někdy i dva dny. Oba kalendáře však dosahují v určení průměrné délky synodického měsíce pozoruhodné přesnosti.

Přesnost židovského kalendáře

Židovský kalendář je převážně lunární, na délku tropického roku nebere příliš ohled. Ale zase pro určení roční doby (tekufy) existují dva různě přesné systémy. Samuelovská tekufa má délku 91 dnů 7 hodin a 540 chalakim, kde chalakim je židovská časová jednotka (jednotné číslo je chelek). Jedna hodina má 1080 chalakim, pak má tato roční doba délku 91 dnů a 7.5 hodin. Protože tekufy jsou stejně dlouhé, vychází délka roku na 365.25 dne, což je přesně stejná délka jako u juliánského kalendáře. Druhá tekufa, takzvaná addovská, předpokládá že za 19 židovských let se vystřídá přesně 235 lunací. Z toho plyne délka roku 365 dní 5 hodin 997 chalakim a 48 ragaím, kde ragaím ja další židovská časová jednotka (jeden ragaím je 1/76 cheleku).

235 * (29 + 12/24 + 793/1080/24) / 19 = 365.2468222 dne, což je 365d 5h 55m 25.4s

To není o moc přesnější délka roku, v průběhu staletí tak jednotlivé roční doby putují celým rokem.

Pochopitelně mnohem přesnější je židovský kalendář v určení délky lunace. Dle definice jedna lunace trvá přesně 29 dnů 12 hodin a 793 chalakim, což je v našich jednotkách:

29 + 12/24 + 793/1080/24 = 29.530594 dne, což je 29d 12h 44m 3.3s

Což je ve srovnání s nynější známou průměrnou délkou lunace 29.530589 dne vynikající přesnost, ale gregoriánský kalendář je přesto přesnější.