Keplerova rovnice
Při určení polohy tělesa na eliptické dráze si pomůžeme opsanou kružnicí o poloměru stejném jako velká poloosa elipsy. Středy obou kuželoseček jsou shodné. Na pomocné kruhové dráze se pohybuje pomocné těleso, jež má rovnoměrný pohyb a můžeme tedy lehce vypočítat jeho polohu na kruhové dráze v kterémkoliv okamžiku. Úhel mezi středem dráhy a pomocným tělesem se nazývá střední anomálie (anomálie=odchylka), na níže zobrazeném grafu je tento úhel označen červeně. Taktéž jako jeho hodnota ve stupních na displeji. Řešením Keplerovy rovnice je excentrická anomálie (označena zeleně). Přímka vedená ze středu a odchýlená o excentrickou anomálii protne kruhovou pomocnou dráhu v určitém bodě. Z něj pak spustíme kolmici na přímku apsid a ta někde protne eliptickou skutečnou dráhu tělesa. A právě zde se nachází naše těleso. Úhel mezi Sluncem (ohniskem elipsy) a naším tělesem se nazývá pravá anomálie (označena modře).
Pomocí Keplerovy rovnice tedy hledáme excentrickou anomálii (E), když známe střední anomálii (M). Johannes Kepler našel tuto rovnost:
a z ní musíme vypočítat E
Excentricita eliptické dráhy je označena e. Protože jde o transcendentní rovnici, není možné algebraické řešení. Ale v době počítačů můžeme tuto rovnici lehce řešit pomocí Newtonovy iterační metody, kdy se postupně dostáváme k výsledku.
Schématicky zapsaný algoritmus iteračního výpočtu řešení Keplerovy rovnice, pozor pro přehlednost se zde pracuje v radiánech:první odhad: E0 = M + e * sin(M) * (1 + e * cos(M)) iterace: E1 = E0 - (E0 - e * sin(E0) - M) / ( 1 - e * cos(E0)) je-li rozdíl E0 a E1 větší jak zadaná přesnost, pak E0 = E1 a znovu na iteraci jinak konec, v E1 je výsledekA upravené vzorce pro výpočet ve stupních:
první odhad: E0 = M + e * (180/π) * sin(M) * (1 + e * cos(M)) iterace: E1 = E0 - (E0 - e * (180/π) * sin(E0) - M) / ( 1 - e * cos(E0))
Níže je interaktivní graf pohybu tělesa na eliptické dráze. Můžete měnit excentricitu eliptické dráhy a střední anomálii. Velká poloosa dráhy je vždy 1 (a proto je oběžná doba tělesa vždy stejná, bez ohledu na nastavenou excentricitu). Kromě excentrické a pravé anomálie se vypočte i vzdálenost tělesa od Slunce, včetně jeho aktuální rychlosti. Všechny úhly jsou ve stupních.
![Johannes Kepler](pic/johannes-kepler-bw.jpg)
Keplerova rovnice
M=E-e×sin(E)
Níže je grafický popis Keplerovy rovnice. Červeně je označena střední anomálie, zeleně excentrická. Mezi těmito dvěma anomáliemi není žádná grafická souvislost. Modře je pak označena pravá anomálie.
![Keplerova rovnice graficky](pic/keplerova-rovnice.png)
Keplerova rovnice graficky
Pokud má elipsa malou excentricitu a spokojíme se s menší přesností, můžeme použít přibližný vzorec:
Největší chyba tohoto přibližného vzorce pro excentricitu e = 0.15 je 0.0327°, pro e = 0.20 je 0.0783° a pro e = 0.25 je 0.1552°.