Menu ≡
24print kalendar.beda.cz

Keplerovy zákony

První Keplerův zákon:

Planety se pohybují po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce.

Eliptická dráha
Eliptická dráha

Platí nejen pro oběh planety kolem Slunce, ale i pro oběh jakéhokoliv měsíce, či družice kolem planety. Díky eliptické dráze se vzdálenost Slunce–planeta (či Země–Měsíc) průběžně mění. Na obrázku jsou zakresleny nejdůležitější geometrické údaje o elipse. Geometricky je elipsa množina bodů v rovině, jejichž součet vzdáleností od dvou pevných bodů (ohniska F1 a F2) je roven dvojnásobku velké poloosy (a). V ohnisku F2 je navíc zakresleno Slunce. Nejdelší spojnice středu S k bodu na elipse je velká poloosa (a), naopak nejkratší spojnice se nazývá malá poloosa (b). Poměr vzdálenosti ohniska od středu a velké poloosy dráhy se nazývá numerická excentricita (číselná výstřednost) elipsy. Excentricita elipsy může nabývat hodnot 0 (pak jde o zvláštní případ elipsy - kruh) až téměř 1. Čím více je elipsa „zploštělejší“, tím více se excentricita blíží k 1. Jak eliptická dráha Země, tak dráha Měsíce je blízká kruhu, proto je jejich excentricita drah blízká 0. Bod P je nejbližší bod na dráze ke Slunci, v případě dráhy Země se nazývá perihel a u dráhy Měsíce jde zase o perigeum. Bod A je naopak nejvzdálenější bod, u dráhy Země jde o afel a u Měsíce o apogeum. Spojnice bodů P a A se nazývá přímka apsid.


Druhý Keplerův zákon:

Plochy opsané průvodičem (spojnice planety a Slunce) za jednotku času jsou stejné.

Průvodiče eliptické dráhy
Průvodiče eliptické dráhy

Prakticky z toho plyne, že čím blíže je planeta Slunci, tím rychleji se pohybuje. Obdobně to platí i pro náš Měsíc, čím blíže je k Zemi, tím rychleji se na své dráze pohybuje. Na obrázku je zakresleno dvanáct poloh planety na oběžné dráze kolem Slunce. Průvodiče jsou zakresleny červeně. Mezi jednotlivými polohami se planeta přesune za stejnou dobu. Takže například z bodu 0 do bodu 1 se dostane za stejnou dobu jako z bodu 6 do bodu 7. Je nabíledni, že rychlost oběhu planety je nejrychlejší v bodě 0 (a to je perihel, viz výše), naopak nejpomaleji se pohybuje v bodě 6 (afel). Podle tohoto zákona platí, že plocha výseče vymezená třemi body Slunce–0–1 je stejná jako plocha výseče Slunce–6–7, nebo třeba plocha Slunce–9–10.


Třetí Keplerův zákon:

Dvojmoci dob oběhů mají se k sobě jako trojmoci velkých poloos.

Označíme-li oběžné doby dvou různých planet P1 a P2 a jejich velké poloosy oběžných drah a1 a a2, pak matematicky zapsáno platí: P1² / P2² = a1³ / a2³. Přesné znění tohoto zákona ještě navíc pracuje i s hmotami jednotlivých těles, ale v případě Slunce a planet se můžeme spokojit s jednodušším zápisem zákona, neboť hmota Slunce je daleko větší než planety. Z tohoto zákona plyne jedna důležitá věc: oběžná doba se nemění, pokud je stejná hlavni poloosa elipsy, ať je excentricita elipsy jakákoliv.

Pomocí tohoto zákona můžeme lehce vyřešit jednu žertovnou úlohu z nebeské mechaniky: Jak dlouho by padala Země na Slunce, kdyby se náhle zastavila na své dráze? Řešení spočívá v tom, že budeme považovat novou dráhu Země za velmi protáhlou elipsu. Jeden vrchol je na staré dráze a druhý je ve Slunci. Velkou poloosu staré dráhy budeme brát za jednotku vzdálenosti, velká poloosa nové dráhy pak bude mít velkou poloosu přesně poloviční. Země oběhne Slunce za jeden rok, nyní hledáme novou dobu oběhu., vlastně jenom jeho polovičku neb Země ve Slunci svou pouť určitě zakončí. Dosadíme-li staré elementy dráhy za index 1 a nové elementy za index 2 do matematického zápisu, dostaneme: 1² / P2² = 1³ / (1/2)³. Výraz lehce upravíme a dostaneme, že P2 = √1/8. A protože hledáme jen polovičku oběžné doby, je doba pádu Země na Slunce 0.177 roku, tedy zhruba 64½ dne!

Další informace:

24print 24print Nahoru