Menu ≡
24print kalendar.beda.cz

Keplerova rovnice

Při určení polohy tělesa na eliptické dráze si pomůžeme opsanou kružnicí o poloměru stejném jako velká poloosa elipsy. Středy obou kuželoseček jsou shodné. Na pomocné kruhové dráze se pohybuje pomocné těleso, jež má rovnoměrný pohyb a můžeme tedy lehce vypočítat jeho polohu na kruhové dráze v kterémkoliv okamžiku. Úhel mezi středem dráhy a pomocným tělesem se nazývá střední anomálie (anomálie=odchylka), na níže zobrazeném grafu je tento úhel označen červeně. Taktéž jako jeho hodnota ve stupních na displeji. Řešením Keplerovy rovnice je excentrická anomálie (označena zeleně). Přímka vedená ze středu a odchýlená o excentrickou anomálii protne kruhovou pomocnou dráhu v určitém bodě. Z něj pak spustíme kolmici na přímku apsid a ta někde protne eliptickou skutečnou dráhu tělesa. A právě zde se nachází naše těleso. Úhel mezi Sluncem (ohniskem elipsy) a naším tělesem se nazývá pravá anomálie (označena modře).

Pomocí Keplerovy rovnice tedy hledáme excentrickou anomálii (E), když známe střední anomálii (M). Johannes Kepler našel tuto rovnost:

M = E - e × sin(E)
a z ní musíme vypočítat E

Excentricita eliptické dráhy je označena e. Protože jde o transcendentní rovnici, není možné algebraické řešení. Ale v době počítačů můžeme tuto rovnici lehce řešit pomocí Newtonovy iterační metody, kdy se postupně dostáváme k výsledku.

Schématicky zapsaný algoritmus iteračního výpočtu řešení Keplerovy rovnice, pozor pro přehlednost se zde pracuje v radiánech:
první odhad:
    E0 = M + e * sin(M) * (1 + e * cos(M))
iterace:
    E1 = E0 - (E0 - e * sin(E0) - M) / ( 1 - e * cos(E0))
je-li rozdíl E0 a E1 větší jak zadaná přesnost, pak E0 = E1 a znovu na iteraci
jinak konec, v E1 je výsledek
A upravené vzorce pro výpočet ve stupních:
první odhad:
    E0 = M + e * (180/π) * sin(M) * (1 + e * cos(M))
iterace:
    E1 = E0 - (E0 - e * (180/π) * sin(E0) - M) / ( 1 - e * cos(E0))

Níže je interaktivní graf pohybu tělesa na eliptické dráze. Můžete měnit excentricitu eliptické dráhy a střední anomálii. Velká poloosa dráhy je vždy 1 (a proto je oběžná doba tělesa vždy stejná, bez ohledu na nastavenou excentricitu). Kromě excentrické a pravé anomálie se vypočte i vzdálenost tělesa od Slunce, včetně jeho aktuální rychlosti. Všechny úhly jsou ve stupních.

Použijte novější internetový prohlížeč
Johannes Kepler

Keplerova rovnice
M=E-e×sin(E)

Níže je grafický popis Keplerovy rovnice. Červeně je označena střední anomálie, zeleně excentrická. Mezi těmito dvěma anomáliemi není žádná grafická souvislost. Modře je pak označena pravá anomálie.

Keplerova rovnice graficky
Keplerova rovnice graficky

Pokud má elipsa malou excentricitu a spokojíme se s menší přesností, můžeme použít přibližný vzorec:

tan(E) =
sin(M)cos(M) - e

Největší chyba tohoto přibližného vzorce pro excentricitu e = 0.15 je 0.0327°, pro e = 0.20 je 0.0783° a pro e = 0.25 je 0.1552°.

Další informace:

24print 24print Nahoru